tag:blogger.com,1999:blog-107452982009-02-20T21:17:09.421-08:00Paradoxes in Probabilityhttp://www.blogger.com/profile/12076601414772138882noreply@blogger.comBlogger4125tag:blogger.com,1999:blog-10745298.post-1108808555539040642005-02-09T02:08:00.000-08:002005-03-02T22:39:56.150-08:00<img src="http://www.stetson.edu/~efriedma/periodictable/jpg/Russell.jpg" />.<br />The Principles of Mathematicsبا اينكه من به تازگى نوشتن كتاب<br />را تمام کرده بودم , اما به يك شكست عقلانى برخوردم . درابتدامن فكر مى كردم كه به راحتى مى توانم به اين تنا قض غلبه كنم, و احتمالا يك خطاى جزيى دراستدلال است. به تدريج اين واضح شد كه اين طور نيست<br />( Bertrand Russell)<div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/10745298-110880855553904064?l=paradoxesinprobability.blogspot.com' alt='' /></div>Paradoxes in Probabilityhttp://www.blogger.com/profile/12076601414772138882noreply@blogger.com3tag:blogger.com,1999:blog-10745298.post-1109369857772671292005-02-08T14:14:00.000-08:002005-03-02T23:03:16.330-08:00<center><br /><p>تئوری احتمالات به واقع یک تئوری جدید است.اولین تلاش ها برای به صورت فرمول در اوردن محا سبات احتمال توسط لا پلاس(1794-1827 )انجام شد.او پیشنهاد کرد که احتمال برامد<br />را به صورت نسبت پیشامد هایی که برامد A<br />را نتیجه می دهند به تعداد کل پیشامد های ممکن تعریف کنیمA</p><p>پارادوکس برتراند یکی از اکتشافاتی است که نضریه احتمالات را از بخش های د یگر ریا ضیات متمایز کرده .<br />به مسله زیر توجه کنید<br /><i>یک دایره داده شده .احتمال اینکه طول وتری از دایره که به صورت رندم کشیده شده بلند تر ازضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره باشد.<br />ضاهرا این مسئله راه حل های زیادی دارد<br /></i></p><img height="120" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/bertrand1.JPG" width="127" align="right" /> <h3>راه اول:<br /></h3>ما باید دو نقطه روی دایره به صورت رندم انتخاب کنیم و فاصله بین انها را اندازه بگیریم .بنابر این تنها چیزی که مهم است مکان نقطه دوم نسبت به نقطه اول است.به بیان دیگر مکان نقطه اول هیچ تاثیری روی<br />بر امد ندارد.بنابر این اجازه دهید نقطه A را ثابت نگه داریم وفقط به وتر هایی که از این نقطه شروع می شوند توجه کنیم.سپس این واضح می شود که 3/1 از پیشامدها وتری را نتیجه می دهد که بلندتر از ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاطی است.<br /><img height="109" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/bertrand2.JPG" width="113" align="right" /> <p><h3><br />راه دوم:<br /></h3><br />یک وتر به وسیله نقطه وسطش به طور کامل شناخته می شود. نقطه وسط وترهایی که طولشان بیشتر از ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاطی در یک دایره کوچکتر با شعاعی به اندازه 2/1 دایره داده شده قرار می گیرند.این ناحیه4/1 دایره بزرگ است که همچنین نسبت برامد های مطلوب را تعریف می کند.4/1 .<br /><p><h3><br />راه سوم:<br /></h3><br />یک وتر به وسیله نقطه وسطش به طور کامل شناخته می شود. فاصله نقطه وسط وترهایی که طولشان بیشتر از ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاطی است تا مرکز از نصف شعاع کمتر است.اگر نقاط وسط وترها به صورت یکنواخت روی شعاع (به جای پخش شدن یکنواخت روی سطح مثل راه دوم)پخش شده باشند احتمال برابر 2/1 می شود.<br /><center><img height="18" src="tbow_sh.gif" width="240" border="0" /></center><br /><p><p><br />در ادامه دو شبیه سازی که راه مورد استفاده در راه حل اول را نشان می دهند امده است.</p><p>در یکی از انها دو نقطه به صورت رندم روی دایره انتخاب میشود و سپس به وسیله یک وتر به هم متصل می شوند.در دیگری یک<img style="WIDTH: 16px; HEIGHT: 18px" height="20" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/sqrt.jpg" width="20" />نقطه ثابت درنظر گرفته می شود و نقطه دوم به صورت رندم انتخاب می شود .فرش کنید شعاع دایره 1 باشد ضلع مثلث3 </p><p>می شود</p>است وطول بلند ترین وتر(شعاع) برابر 2 است.نمودار در سمت راست دایره هاتوزیع احتمال تجربی را برای طول وتر نشان می <img src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/x.JPG" />دهد.این گراف برای مقادیر بین 0 و 2 تعریف شده است. مقدار گراف در نقطه<br /><img src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/x.JPG" />یک تخمین از احتمال وتری است که از<br /><br /><img style="WIDTH: 16px; HEIGHT: 18px" height="19" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/sqrt.jpg" width="16" />بلند تر نیست.بیشترین مقدار یعنی 1 در انتهای سمت راست گراف رخ می دهد چون هیچ وتری از 2 بلند تر نیست.خط قرمز 3<br />را نشان می دهد.<br /><p></p><center><table><tbody><tr><td><applet id="bertrand1" codebase="http://www.cut-the-knot.com/classes" height="300" width="310" code="bertrand.class"><param name="_cx" value="8202"><param name="_cy" value="7938"></applet></td><td><applet id="bertrand2" codebase="http://www.cut-the-knot.com/classes" height="300" width="310" code="bertrand.class"><param name="_cx" value="8202"><param name="_cy" value="7938"></applet></td></tr></tbody></table></center><br /><p><br />این نمودارها نشان می دهند ولی ثابت نمی کنند که استدلال به کار برده شده در راه حل اول درست است.توزیع احتمل در هر دو مورد یکسان ظاهر می شود.بنابر لین راه حل اول کاملا قابل پذیرفتن به نظر می اید.و این جایی است که ما اغاز می کنیم.<br /></p><br /><img height="168" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/b1.JPG" width="168" align="right" /> فرض کنید دایره بزرگ شعاع<img style="WIDTH: 19px; HEIGHT: 16px" height="21" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/r.jpg" width="19" /> داردو<img src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/A.jpg" />نقطه ای است که زاویه<br /><img src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/A.jpg" />سمت چپ مثلث را مشخص می کند.نقطه وسط وتر هایی با یک انتها در<br /><img style="WIDTH: 19px; HEIGHT: 17px" height="19" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/r.jpg" width="21" />/روی یک دایره به شعاع 2<br />قرار می گیرند که در نقطه <img src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/A.jpg" />بردایره بزرگ مماس است<br /><br />.بنابر این دایره کوچک به وسیله زاویه به سه قسمت مساوی تفسیم می شود.بنابر این اگر ما به توزیع نقاط وسط وتر ها در راه اول توجه کنیم می فهمیم که بر امد مورد نظر در 3/1 از کل موارد اتفاق می افتد.<br /><img style="WIDTH: 165px; HEIGHT: 163px" height="168" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/b2.JPG" width="168" align="right" />حالا به ما اجازه دهید که نیمی از دایره را در نظر بگیریم.بر اساس مثلث به نسبت1 به 2 تقسیم می شود.<br />یک بخش شامل نقاط وسط وتر هایی که بلند تر از ضلع مثلث هستند و دو بخش شامل نقاط وسط وتر هایی که از ضلع مثلث کو تاه ترند<br /><p></p><p>اجازه دهیدا ین کمان را دور مرکز دایره بزرگ بچرخانیم.این ممکن است که کل دایره را طی کنیم بدون اینکه یک نقطه را بیش از یک بار بپوشانیم(به جزبرای مر کزکه بسش از یک بار پوشانده <img style="WIDTH: 19px; HEIGHT: 16px" height="19" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/r.jpg" width="21" />میشود.قسمت مطلوب این کمان یک دایره به شعاع 2/<br /><img height="168" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/b3.JPG" width="168" align="right" /><br />را با مرکز دایره بزرگ طی می کند.این دایره ای است که در راه حل دوم ظاهر می شود.شاید شخصی به سادگی قبول کند که 3/1 از کمان دو بار طی می شود به طوریکه ناحیه ای که به وسیله 3/2<br />باقی مانده کمان طی می شود کو چک می شود.به طو ریکه می توان دید که نسبت 1 به 3 (1:3 )است نه 1 به 2 (1:2 ).پس نقاط میانی وتر ها در یک دایره که نقاط پایانی به طور یکنواخت در محیط دایره پخش شده بیشتر در نزدیکی مرکز به طور متراکم قرار گرفته اند تا نز دیک به پیرامون ان.بنا بر این این پارادوکس به تنهایی نشان می دهد که توزیع های احتمال در دو بعد به دقت بیشتری از انچه در راه دوم امده نیاز دارند.تصور رندم یکنواخت به واقع از انچه در نگاه اول به نظر می اید کمتر بدیهی است.<br /></p><br /><center><img height="18" src="tbow_sh.gif" width="240" border="0" /></center><br /><p><br />در زیر دو شبیه سازی از راه حل های دوم و سوم است.در هر دو مورد یک نقطه درون دایره به صورت رندم انتخاب می شود و وتر عمود بر شعاع نمایش داده می شود.تفا وت این دو شبیه سازی این است که و برای راه دوم نقطه به وسیله مختصات قطبی(شعاع +زاویه) که به صورت مستقل انتخاب می شوند تعریف می شود.اما برای راه سوم نقطه به وسیله<br /><a href="http://www.cut-the-knot.com/do_you_know/few_words.shtml#Cartesian"><br />مختصات کارتزین<br /></a><br /><img src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/x.JPG" />تعریف می شود.و<br /><br />و<br /><img height="18" src="http://math.sharif.edu/~arghavan_ansari/y.jpg" width="11" /><br />به صورت رندم و مستقل در فضای مربعی اطراف دایره انتخب می شوند.نقاطی که خارج دایره قرار می گیرند دور انداخته می شوند.<br /></p><br /><br /><center><table><tbody><tr><td><applet id="bertrand1" codebase="http://www.cut-the-knot.com/classes" height="300" width="310" code="bertrand.class"><param name="_cx" value="8202"><param name="_cy" value="7938"></applet></td><td><applet id="bertrand2" codebase="http://www.cut-the-knot.com/classes" height="300" width="310" code="bertrand.class"><param name="_cx" value="8202"><param name="_cy" value="7938"></applet></td></tr></tbody></table></center><br /><br /><h2>Reference</h2><br /><a href="http://www.cut-the-knot.com/bertrand.shtml"><br />http://www.cut-the-knot.com/bertrand.shtml<br /></a><br /></center><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/10745298-110936985777267129?l=paradoxesinprobability.blogspot.com' alt='' /></div>Paradoxes in Probabilityhttp://www.blogger.com/profile/12076601414772138882noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-10745298.post-1109625882291190482005-02-05T13:22:00.000-08:002005-03-01T23:27:24.116-08:00<div align="right"><br /><em><br />.....پدر و مادر زشت می توانند فرزندان زیبا داشته با شند....<br /></em><br><br />Doron Zeilberger (1998)<br /></div><br /><p><br />پارا دوکس پاروندو یک مطلب بسیار مهییج است.برخلاف شهود عمومی ,این ممکن است که دو بازی باخته را به یک ترکیب برده تبدیل کنیم.این یک خبر خوب است اما حالا دست هایتان را ه هم نمالید.چون این تئوری شامل بازی های کازینوها نمی شود.یاد گیری ان پاداش های خودش را دارد.<br /><a href="http://seneca.fis.ucm.es/parr/ <br />GAMES/Paradox%20in%20Game%20Theory%20Losing%20Strategy%20 <br />That%20Wins.htm"> <br />ساندرا بلاکسله<br /></a><br />سال پیش در نیویورک تایمز اطلاع داد که دکتر سرگئی ماسلو((Dr. Sergei Maslov <br />از ازمایشگاه بین المللی بورخاون نشان داد که اگریک سر مایه گذار به صورت همزمان سر مایه را بین دو سهام بازنده تقسیم کند سر مایه زیاد می شود تا اینکه کم شود.<br /></p><br /><p><br />چون این پارادوکس چند سال پیش اطلاع داده پده بود ,دنیاای واقعی و مثال های مجرد زیادی به وجود امده بود که ان را ملموس تر کند.حقیقتا ,جدا از جایزه هی ماددی ,یک ترکیب از چیز های منفی ممکن است به یک نتیجه مثبت بینجامد.<br /></p><br />Brooke Buckley یک دانشجوی لیسانس از دانشگاه Eastern Kentucky University <br /><a href="http://www.math.eku.edu/greenwell/PPDox/ <br />thesisfinal.ppt"> <br />تذکر داد <br /></a><br />در دفاع پایان نامه اش که این یک واقعیت شناخته شده در کشاورزی است"گنجشک ها و حشرات هر دو می توانند تمام محصول را بخورند .هر چند به وسیله یک تر کیب از گنجشک ها و حشرات ,یک محصول سالم درو خواهد شد".<br /></p><br /><br /><p><br />در یک <br /><a href="http://www.math.temple.edu/~zeilberg/mamarim/ <br />mamarimhtml/parrondo.html"><br />مقاله با بصیرت از <br /></a><br /> Shalosh B. Ekhad و Doron Zeilberger<br />نویسندگان نقطهای ساخته اند که در جه به هم امیختگی فعالیت هایش اهمیت واقعی دارد.با اینکه انها تئو ری شان را در شرایط دنیوی به اعمال کرده اند, مثل راه رفتن, رانندگی کردن وپرواز کردن,ممکن است ما مشاهدات انها را در حالات ذکر شده مورد استفاده قرار دهیم.<br /></p><br /><br /><p><br />اپلت زیر از یک اسباب بازی باتریی معروف تقلید کرده .یک اسباب بازی نوعی معمولا از یک پلکان ثابت و یک متحرک تشکیل شده.بخش متحرک به صورت دوره ای به بالا و پایین حرکت می کند.در راه بخش متحرک یک جسم کوچک (مثل توپ)را می گیرد وان را روی یک پله ثابت می گذارد تا دو باره یک لحظه بعد ان را بگیرد و ان را روی پله بالا تر قرار دهد.از بالای پله ها این جسم به پاین اسباب بازی سر می خورد ,جایی کخ عملیات دوباره از اول تکرار میشود .در این اپلت یک حکت رو به پایین هم اضافه شده به خاطر اینکه نمایش ظاهری ان بیشتر مطابق با پارادوکس پاروندو باشد.<br /></p><br /><p><APPLET CODE="Ratchet" WIDTH=400 HEIGHT=450 codebase="http://www.cut-the-knot.com/classes"><br /> <param name="fcolor" value="000000"><br /> <param name="bcolor" value="C5DBCF"><br /></APPLET></p> <br /><p><br />اما پارادوکس پاروندو چیست؟نوشته های زیادی <br /><a href="http://www.cut-the-knot.com/#Web"><br />روی وب<br /></a><br />موجود است.<br /></p><br /><br /><p> <br />دو بازی بازنده <br />-- AوB -- <br />اولی ساده و دیگری پیچیده است.<br />در بازی ساده A هر کس یک دلار (1$)مبرد یا می بازد با احتمال p و1-p<br /><br />بازی B خودش ترکیب دو بازی است<br />B₁<br />و<br />B₂<br />هر دو به اندازهA ساده هستند در بازی<br /> B₁<br />احتمال برد یک دلار<br />p₁ <br />ودر <br />B₂<br />p₂ <br />است در B <br />بازی <br />B₁<br />انجام می شود اگر سرمایه جاری مضربی از M > 1 <br />باشد و <br />B₂<br />انجام می شود اگر این طور نباشد.<br /><p><br />پارادوکس وقتی اتفاق می افتد که هر سه بازی<br />A, B₁ , B₂<br />نتوانند بازنده با شند.یک تخصیص احتمال میتواند به صورت <br />p = .495, p1 = .095 p2 = .745<br /> باشد که B₂<br />برنده می شود برای <br /> M = 2 یا M =3 <br />بازی B بازنده میشود اما برای M > 3<br />برنده می شود.<br /><p/><br /><p><br />در مقاله اصلی از<br />D. Abbott و G. Harmer <br />بازی های <br />A, B₁ , B₂<br />با احتمال های <br /><nobr><B>p</B> - <b>Epsilon</b>,</nobr> <nobr><B>p₁</B> - <b>Epsilon</b>,</nobr> and <nobr><B>p₂</B> - <b>Epsilon</b>,</nobr><br />جایی که <br /><b>Epsilon</b><br />بک عدد کوچک در حدود .005 است اما در واقع بهتر است که صفر با شد.<br /></p><br /><p><br />بازیهای A و B <br />ممکن است به روش های دیگری هم با هم ترکیب شوند ممکن است انها به صورت رندم با یک تعیین احتمال از انتخاب ها مثل A .<br />یا انتخاب ها ممکن است که یک الگوی تکرار شونده را دنبال کنند مثل AABB<br />که به این معنی است که اول دو بازی A <br />و بعد دو بازی B<br />و بعد دو باره دو بازی A <br />و همین طور ادامه می دهیم .<br />اپلت اجازه می دهد که بیش از 7 تر کیب تعریف کنیم.فقط کافی است که یک رشته ازA هاBها <br />یا اعداد حقیقی (برای احتمال ها )که به وسیله سپیس از هم جدا می شوند را در بخش پایین اپلت بنویسیم.هر ازمایش(trial)<br />شامل یک تعدادمعین بازی است (در ابتدا 100)<br />و همچنین می توانید تعداد ازمایش ها را معین کنید (در ابندا 500).<br /> <br /></p><br /><p><APPLET CODE="Parrondo" WIDTH=500 HEIGHT=500 codebase="http://www.cut-the-knot.com/classes"><br /> <param name="fcolor" value="000000"><br /> <param name="bcolor" value="C5DBCF"><br /> <param name="codes" value="AABB ABBAB .4 .5"><br /></APPLET></p><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/10745298-110962588229119048?l=paradoxesinprobability.blogspot.com' alt='' /></div>Paradoxes in Probabilityhttp://www.blogger.com/profile/12076601414772138882noreply@blogger.com0tag:blogger.com,1999:blog-10745298.post-1109482913849691252005-02-04T21:41:00.000-08:002005-03-02T22:48:03.166-08:00<div align="right"><form action="http://www.google.com/custom" method="get" target="google_window" align="right"><a href="http://www.google.com/"><b><span style="font-family:times;font-size:130%;color:#0039b6;">G</span><span style="font-family:times;font-size:130%;color:#c41200;">o</span><span style="font-family:times;font-size:130%;color:#f3a518;">o</span><span style="font-family:times;font-size:130%;color:#0039b6;">g</span><span style="font-family:times;font-size:130%;color:#30a72f;">l</span><span style="font-family:times;font-size:130%;color:#c41200;">e</span></b></a><br /><input type="hidden" value="cut-the-knot.org" name="domains"></input><br /><input maxlength="255" size="16" name="q"></input><br /><!--<input type="submit" name="sa" value="Search"></input>--><br /><input type="radio" value="" name="sitesearch"></input> <input type="radio" align="right" value="cut-the-knot.org" name="sitesearch"></input><br /><span style="color:#f2f2f2;">Web</span> <span align="right" style="color:#f2f2f2;">CTK</span><br /><input type="submit" value="Search" name="sa"></input><br /><input type="hidden" value="ISO-8859-1" name="ie"><input type="hidden" value="1" name="forid"><input type="hidden" value="pub-9118218894256794" name="client"></input><br /></input><input type="hidden" value="en" name="hl"><input type="hidden" value="GALT:#003324;GL:1;DIV:#66CC99;VLC:FF6600;AH:center;BGC:C5DBCF;LBGC:73B59C;ALC:000000;LC:000000;T:330033;GFNT:333300;GIMP:333300;FORID:1;" name="cof"><input type="hidden" value="ISO-8859-1" name="oe"><br /></input><br /></input><br /></input><br /></input><br /></form></div><div class="blogger-post-footer"><img width='1' height='1' src='https://blogger.googleusercontent.com/tracker/10745298-110948291384969125?l=paradoxesinprobability.blogspot.com' alt='' /></div>Paradoxes in Probabilityhttp://www.blogger.com/profile/12076601414772138882noreply@blogger.com0