Bertrand's Paradox

تئوری احتمالات به واقع یک تئوری جدید است.اولین تلاش ها برای به صورت فرمول در اوردن محا سبات احتمال توسط لا پلاس(1794-1827 )انجام شد.او پیشنهاد کرد که احتمال برامد
را به صورت نسبت پیشامد هایی که برامد A
را نتیجه می دهند به تعداد کل پیشامد های ممکن تعریف کنیمA

پارادوکس برتراند یکی از اکتشافاتی است که نضریه احتمالات را از بخش های د یگر ریا ضیات متمایز کرده .
به مسله زیر توجه کنید
یک دایره داده شده .احتمال اینکه طول وتری از دایره که به صورت رندم کشیده شده بلند تر ازضلع مثلث متساوی الاضلاع محاط در دایره باشد.
ضاهرا این مسئله راه حل های زیادی دارد

راه اول:

ما باید دو نقطه روی دایره به صورت رندم انتخاب کنیم و فاصله بین انها را اندازه بگیریم .بنابر این تنها چیزی که مهم است مکان نقطه دوم نسبت به نقطه اول است.به بیان دیگر مکان نقطه اول هیچ تاثیری روی
بر امد ندارد.بنابر این اجازه دهید نقطه A را ثابت نگه داریم وفقط به وتر هایی که از این نقطه شروع می شوند توجه کنیم.سپس این واضح می شود که 3/1 از پیشامدها وتری را نتیجه می دهد که بلندتر از ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاطی است.

راه دوم:

یک وتر به وسیله نقطه وسطش به طور کامل شناخته می شود. نقطه وسط وترهایی که طولشان بیشتر از ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاطی در یک دایره کوچکتر با شعاعی به اندازه 2/1 دایره داده شده قرار می گیرند.این ناحیه4/1 دایره بزرگ است که همچنین نسبت برامد های مطلوب را تعریف می کند.4/1 .

راه سوم:

یک وتر به وسیله نقطه وسطش به طور کامل شناخته می شود. فاصله نقطه وسط وترهایی که طولشان بیشتر از ضلع مثلث متساوی الاضلاع محاطی است تا مرکز از نصف شعاع کمتر است.اگر نقاط وسط وترها به صورت یکنواخت روی شعاع (به جای پخش شدن یکنواخت روی سطح مثل راه دوم)پخش شده باشند احتمال برابر 2/1 می شود.

در ادامه دو شبیه سازی که راه مورد استفاده در راه حل اول را نشان می دهند امده است.

در یکی از انها دو نقطه به صورت رندم روی دایره انتخاب میشود و سپس به وسیله یک وتر به هم متصل می شوند.در دیگری یکنقطه ثابت درنظر گرفته می شود و نقطه دوم به صورت رندم انتخاب می شود .فرش کنید شعاع دایره 1 باشد ضلع مثلث3

می شود

است وطول بلند ترین وتر(شعاع) برابر 2 است.نمودار در سمت راست دایره هاتوزیع احتمال تجربی را برای طول وتر نشان می دهد.این گراف برای مقادیر بین 0 و 2 تعریف شده است. مقدار گراف در نقطه
یک تخمین از احتمال وتری است که از

بلند تر نیست.بیشترین مقدار یعنی 1 در انتهای سمت راست گراف رخ می دهد چون هیچ وتری از 2 بلند تر نیست.خط قرمز 3
را نشان می دهد.

این نمودارها نشان می دهند ولی ثابت نمی کنند که استدلال به کار برده شده در راه حل اول درست است.توزیع احتمل در هر دو مورد یکسان ظاهر می شود.بنابر لین راه حل اول کاملا قابل پذیرفتن به نظر می اید.و این جایی است که ما اغاز می کنیم.

فرض کنید دایره بزرگ شعاع داردونقطه ای است که زاویه
سمت چپ مثلث را مشخص می کند.نقطه وسط وتر هایی با یک انتها در
/روی یک دایره به شعاع 2
قرار می گیرند که در نقطه بردایره بزرگ مماس است

.بنابر این دایره کوچک به وسیله زاویه به سه قسمت مساوی تفسیم می شود.بنابر این اگر ما به توزیع نقاط وسط وتر ها در راه اول توجه کنیم می فهمیم که بر امد مورد نظر در 3/1 از کل موارد اتفاق می افتد.
حالا به ما اجازه دهید که نیمی از دایره را در نظر بگیریم.بر اساس مثلث به نسبت1 به 2 تقسیم می شود.
یک بخش شامل نقاط وسط وتر هایی که بلند تر از ضلع مثلث هستند و دو بخش شامل نقاط وسط وتر هایی که از ضلع مثلث کو تاه ترند

اجازه دهیدا ین کمان را دور مرکز دایره بزرگ بچرخانیم.این ممکن است که کل دایره را طی کنیم بدون اینکه یک نقطه را بیش از یک بار بپوشانیم(به جزبرای مر کزکه بسش از یک بار پوشانده میشود.قسمت مطلوب این کمان یک دایره به شعاع 2/

را با مرکز دایره بزرگ طی می کند.این دایره ای است که در راه حل دوم ظاهر می شود.شاید شخصی به سادگی قبول کند که 3/1 از کمان دو بار طی می شود به طوریکه ناحیه ای که به وسیله 3/2
باقی مانده کمان طی می شود کو چک می شود.به طو ریکه می توان دید که نسبت 1 به 3 (1:3 )است نه 1 به 2 (1:2 ).پس نقاط میانی وتر ها در یک دایره که نقاط پایانی به طور یکنواخت در محیط دایره پخش شده بیشتر در نزدیکی مرکز به طور متراکم قرار گرفته اند تا نز دیک به پیرامون ان.بنا بر این این پارادوکس به تنهایی نشان می دهد که توزیع های احتمال در دو بعد به دقت بیشتری از انچه در راه دوم امده نیاز دارند.تصور رندم یکنواخت به واقع از انچه در نگاه اول به نظر می اید کمتر بدیهی است.

در زیر دو شبیه سازی از راه حل های دوم و سوم است.در هر دو مورد یک نقطه درون دایره به صورت رندم انتخاب می شود و وتر عمود بر شعاع نمایش داده می شود.تفا وت این دو شبیه سازی این است که و برای راه دوم نقطه به وسیله مختصات قطبی(شعاع +زاویه) که به صورت مستقل انتخاب می شوند تعریف می شود.اما برای راه سوم نقطه به وسیله

مختصات کارتزین

تعریف می شود.و

و

به صورت رندم و مستقل در فضای مربعی اطراف دایره انتخب می شوند.نقاطی که خارج دایره قرار می گیرند دور انداخته می شوند.

Reference

http://www.cut-the-knot.com/bertrand.shtml